正十二边形的对角线条数_正十二边形
1、步骤一: 给一圆O,作两垂直的直径OA、OB, 在OB上作C点使OC=1/4OB,作D点使∠OCD=1/4∠OCA ,作AO延长线上E点使得∠DCE=45度 步骤二: 作AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点, 此圆交OB于F点,再以D为圆心,作一圆 ,过F点,此圆交直线OA于G4和G6两点。
2、 步骤三: 过G4作OA垂直线交圆O于P4, 过G6作OA垂直线交圆O于P6, 则以圆O为基准圆,A为正十七边形之第一顶点,P4为第四顶点,P6为第六顶点。
(资料图片仅供参考)
3、 以1/2弧P4P6为半径,即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。
4、 备注一 一个正质数多边形可以用标尺作图的充分和必要条件是,该多边形的边数必定是一个费马质数。
5、换句话说,只有正三边形、正五边形、正十七边形、正257边形和正63357边形可以用尺规作出来,其它的正质数多边形就不可以了。
6、(除非我们再发现另一个费马质数。
7、) 备注二 黎西罗给出了正257边形的尺规作法,写满了整整80页纸。
8、盖尔梅斯给出了正63357边形的尺规作法,此手稿整整装满了一只手提箱,现存于德国哥廷根大学。
9、这是有史以来最繁琐的尺规作图。
10、 备注三 正十七边形的尺规作图存在之证明: 设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a 故sin16a=-sina,而 sin16a=2sin8acos8a=22sin4acos4acos8a=2 4 sinacosacos2acos4acos8a 因sina不等于0,两边除之有: 16cosacos2acos4acos8a=-1 又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有 2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1 注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令 x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a 有: x+y=-1/2 又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a) =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a) 经计算知xy=-1 又有 x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4 其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a 故有x1+x2=(-1+根号17)/4 y1+y2=(-1-根号17)/4 解之可有:(大家自己解解吧~~~~) 最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2 可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出。
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